香典返しをするのが一般的です。
但し、香典返しを辞退する旨を伺っていれば、香典返しの必要はありません。

あて先は、いただいたお香典に記載されているところでよいでしょう。

「○○課一同」という名前でいただいたりした場合は、皆様で召し上がっていただけるものを返すのもひとつの方法です。

本来、香典返しはしなくてはならないものではないのです。一家の大黒柱が亡くなって、経済的に余裕が無い場合など、無理に返す必要はありません。

例えば、慈善団体に寄付したい、残された子供の養育費にしたい、などということもあります。その場合は、「○○基金に寄付させていただきました」「子供の養育費にさせていただきます」などという内容のあいさつ文でご報告し、感謝の気持ちを伝えます。

受け取った側に余計な心配をかけないよう、無くなった人と自分との続柄、欠礼状をだそうとしている相手と自分との関係を考慮して出す先を考えます。最近では、儀礼的に年賀状を出すような、仕事関係の相手には欠礼状を出さない方も増えています。ただし、私生活と仕事が密接に関わっている場合などは、仕事上の付き合いの方にも欠礼状を出します。

年賀欠礼状を誰に出すかに関しては、これといった決まりはありませんので、あくまでもご自分のお気持ちの問題です。

また、年賀状をいただいた場合でも、特にこうするといった決まりはありません。相手と自分との関係を考えて、松の内(1月7日）が過ぎた頃に、寒中見舞でお返しても構いませんし、服喪中であることを手紙で伝えたりしても良いでしょう。

なお欠礼状を出す場合は、12月初旬には相手方に届くようにします。

6月に亡くなった場合、年賀状を出すのはその6ヶ月後になります。
お気持ちの問題ですが、この場合、出しても構わないでしょう。

明治7年に明治政府が出した太政官布告によると、祖父、祖母が亡くなった場合、父方なら150日、母方なら90日を服喪期間となってはおりますが、同居・別居の問題、喪主は誰かなどの事情により、一概に決めにくい部分でもありますので、現代では目安と考えれば良いと思います。

年賀欠礼状を出す場合は、必ず12月上旬には先方に届くようにします。
また、年賀欠礼状ではなく、1月になってから「実は○月に祖母が亡くなって・・・」といった寒中見舞いを出される方もいます。